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1、2021 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题: 18 小题，每题4 分，共 32 分。以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。(1) 设函数( )f x在,内持续， 其中二阶导数( )fx的图形如以下图，那么曲线( )yf x的拐点的个数为 ( )(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3【答案】c【解析】拐点出此刻二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，而且在这点的左右双侧二阶导函数异号。因此，由( )fx的图形可得，曲线( )yf x存在两个拐点. 应选 c.(2) 设211()23xxyexe是二阶常系数非齐次线性微分

2、方程xyaybyce的一个特解，那么( )(a) 3,2,1abc(b) 3,2,1abc(c) 3,2,1abc(d) 3,2,1abc【答案】a【分析】 此题考察二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题解来确信微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比拟等式两边的系数可得待估系数值，另一种是依照二阶线性微分方程解的性质和构造来求解，也确实是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212xe、13xe为二阶常系数齐次微分方程0yayby的解，因此2,1 为特点方程20rarb的根，从而(1 2)3a，1 22b，从而原方程变成32xyyyce，再将特解xyxe代入得1c.应选

3、a(3) 假设级数1nna条件收敛，那么3x与3x依次为幂级数1(1)nnnnax的( )(a) 收敛点，收敛点(b) 收敛点，发散点(c) 发散点，收敛点(d) 发散点，发散点【答案】b【分析】此题考察幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。【解析】 因为1nna条件收敛， 即2x为幂级数1(1)nnnax的条件收敛点， 因此1(1)nnnax的收敛半径为1，收敛区间为(0,2)。而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnnnax的收敛区间仍是(0, 2)。 因此3x与3x依次为幂级数1(1)nnnnax的收敛点， 发散点 .应选 b 。(4) 设d是第一象限由曲线21xy，41xy与直

4、线yx，3yx围成的平面区域，函数,fx y在d上持续，那么,dfx y dxdy( )(a) 13sin 2142sin 2cos , sindfrrrdr(b)1sin 23142sin 2cos , sindfrrrdr(c) 13sin2142sin 2cos , sindfrrdr(d) 1sin 23142sin2cos , sindfrrdr【答案】b【分析】此题考察将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出d 的图形，因此( ,)df x y dxdy1sin 23142sin2( cos , sin)df rrrdr，应选 b(5) 设矩阵21111214aaa，21b

5、dd， 假设集合1,2， 那么线性方程组axb有无穷多解的充分必要条件为( )(a) ,ad(b) ,ad(c) ,ad(d) ,ad【答案】 d【解析】2211111111( , )1201111400(1)(2)(1)(2)a badadadaadd，由()( , )3r ar a b，故1a或2a，同时1d或2d。应选 d(6)设二次型123,fx xx在正交变换为xpy下的标准形为2221232yyy，其中123,pe e e，假设132,qee e，那么123,fx xx在正交变换xqy下的标准形为( )(a) 2221232yyy(b) 2221232yyy(c) 2221232y

6、yy(d) 2221232yyy【答案】 (a)【解析】由xpy，故222123()2tttfx axyp ap yyyy.且200010001tp ap.100001010qppc200()010001tttq aqcp ap c因此222123()2tttfx axyq aq yyyy。选 a(7) 假设 a,b 为任意两个随机事件，那么( )(a) p abp a p b(b) p abp a p b(c) ( )( )()2p ap bp ab(d) 2p a p bp ab【答案】 (c)【解析】由于,aba abb， 按概率的大体性质， 咱们有()()p abp a且()()p a

7、bp b，从而()()()2p ap bp ab，选 (c) .(8)设随机变量,x y不相关，且2,1,3exeydx，那么2exxy( )(a) 3(b) 3(c) 5(d) 5【答案】 (d)【解析】22(2)(2)()()2()e x xye xxyxe xe xye x2()()()( )2()d xexe xe ye x2322 1225，选 (d) .二、填空题:914 小题 ,每题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上 .(9) 20ln coslim_.xxx【答案】12【分析】此题考察00型未定式极限，可直接用洛必达法那么，也能够用等价无穷小替换.【解析】方式

8、一:2000sinln(cos )tan1coslimlimlim.222xxxxxxxxxx罗比达法那么方式二:2222200001ln(cos )ln(1cos1)cos112limlimlimlim.2xxxxxxxxxxxx等价无穷小替换(10) 22sin()d_.1cosxxxx【答案】24【分析】此题考察定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简. 【解析】22202sin2.1cos4xx dxxdxx(11)假设函数( ,)zz x y由方程 ?+ ?+ ? + ?= 2确信，那么(0,1)d_.z【答案】dx【分析】此题考察隐函数求导.【解析】令( , , )cos

9、2zf x y zexyzxx，那么( , , )1sin ,( , , )zxyzfx y zyzx fxz fx y zexy又当0,1xy时1ze，即0z.因此(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)yxzzffzzxfyf，因此(0,1).dzdx(12)设是由平面1xyz与三个坐标平面所围成的空间区域，那么(23 )_.xyz dxdydz【答案】14【分析】此题考察三重积分的计算，可直接计算，也能够利用轮换对称性化简后再计算.【解析】由轮换对称性，得10(23 )66zdxyz dxdydzzdxdydzzdzdxdy，其中zd为平面zz截

10、空间区域所得的截面，其面积为21(1)2z.因此112320011(23 )66(1)3(2).24xyz dxdydzzdxdydzzzdzzzz dz(13)n阶行列式20021202_.00220012【答案】122n【解析】按第一行展开得1111200212022( 1)2( 1)2200220012nnnnnddd221222(22)2222222nnnndd122n(14)设二维随机变量( , )x y服从正态散布(1,0;1,1,0)n，那么0_.p xyy【答案】12【解析】由题设知，(1,1),(0,1)xnyn，而且xy、彼此独立，从而0(1)010,010,0p xyyp

11、xyp xyp xy111111 01 022222p xp yp xp y.三、解答题:1523 小题 ,共 94 分 .请将解答写在答题纸指定位置上 .解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.(15)( 此题总分值10 分) 设函数ln(1)sinfxxaxb

xx，3( )g xkx，假设fx与gx在0 x是等价无穷小，求, ,a b k的值 .【答案】,.abk11123【解析】法一:原式30ln 1sinlim1xxaxbxxkx泰勒展开法2333330236lim1xxxxxa xo xbx xo xkx2343301236lim1xaaba xbxxxo xkx即10,0,123a

12、aabk111,23abk(16)(此题总分值10 分) 设函数fx在概念域i 上的导数大于零，假设对任意的0 xi，由线=y fx在点00,x f x处的切线与直线0 xx及x轴所围成区域的面积恒为4，且02f，求fx的表达式 .【答案】f xx8( )4.【解析】设fx在点00,xfx处的切线方程为:000,yfxfxxx令0y，取得000fxxxfx，故由题意，00142fxxx，即000142fxfxfx，能够转化为一阶微分方程，即28yy，?=8?2，两边同时积分可得x = -8?+ ? ，将 f( 0) = 2，代入上式可得c = 4即84fxx.(17)(此题总分值10 分)函数

13、,fx yxyxy，曲线 c:223xyxy，求,fxy在曲线 c上的最大方向导数. 【答案】 3【解析】因为,fx y沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.,1,1xyfx yy fx yx，故,1,1gradfx yyx，模为2211yx，此题目转化为对函数22,11g x yyx在约束条件22:3cxyxy下的最大值 .即为条件极值问题.为了计算简单， 能够转化为对22( , )11d x yyx在约束条件22:3c xyxy下的最大值 .构造函数:2222, ,113f x yyxxyxy222 1202 12030 xyfxxyfyyxfxyxy，取得12341,1 ,1

14、, 1 ,2, 1 ,1,2mmmm.12348,0,9,9d md md md m因此最大值为93.(18)(此题总分值10 分 )i设函数( )( )u x ,v x可导，利用导数概念证明u x v xu x v xu x v x ()()()()() ()ii 设函数( )( )( )12nux ,ux , ux可导，nf xux u xux12()() ()( )，写出()f x的求导公式.【解析】i0() ()( ) ( ) ( ) ( )limhu xh v xhu x v xu x v xh0() ()() ( )() ( )( ) ( )limhu xh v xhu xh v

15、xu xh v xu x v xh00()( )()( )lim()lim( )hhv xhv xu xhu xu xhv xhh( )( )( ) ( )u x v xu x v xii 由题意得12( )( )( )( )nfxu x uxux121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnux uxuxux uxuxux uxux(19)(此题总分值10 分) 曲线 l 的方程为222,zxyzx起点为0,2,0a，终点为0,2,0b，计算曲线积分2222dd()dliyzxzxyyxyz.【答案】22【解析】由题意假设参数方程cos2sincosxyz，:222

16、22 ( 2sincos )sin2sincos(1 sin)sind22222sinsincos(1 sin)sind22022 2sind2(20) ( 此题满 11 分 ) 设向量组1,23, 内3r的一个基，113=2+2k，22=2，313=+1k .i证明向量组123为3r的一个基 ;ii 当 k 为何值时， 存在非 0 向量在基1,23, 与基123下的坐标一样，并求所有的.【答案】【解析】 (i)证明:12313213123,2+2,2,+1201,020201kkkk2012102024021201kkkk故123, 为3r的一个基 .ii 由题意知，112233112233

17、,0kkkkkk即1112223330,0,1,2,3ikkkki11312223133113223132+22+10+2+0kkkkkkkkkk有非零解即13213+2,+0kk即101010020kk，得 k=0 11223121300,0kkkkkk11131,0kkk(21) ( 此题总分值11 分) 设矩阵02313312aa相似于矩阵12000031bb =. (i)求,a b的值；ii 求可逆矩阵p，使1pap为对角矩阵 . .【解析】 (i) ab ，可得 a + 3 = b + 20231201330012031abba14235abaabb(ii) 023100123133

18、010123123001123aec123112311231231cc的特点值1230,40时(0)0ec x的根底解系为12(2,1,0) ;( 3,0,1)tt5时(4)0ec x的根底解系为3( 1, 1,1)ta 的特点值1:1,1,5ac令123231(,)101011p，1115pap(22) ( 此题总分值11 分) 设随机变量x的概率密度为2ln 2,0,0,0.xxfxx对 x 进展独立重复的观测,直到 2 个大于 3的观测值显现的停顿.记 y 为观测次数。(i) 求 y 的概率散布；(ii)求 ey【解析】 (i) 记 p 为观测值大于3 的概率，那么313228()lnx

19、pp xdx，从而y的概率散布为:12221171188nnnp yncpppn()()() ( )，2 3, ,n(ii):e(y) = ? ? ( ?= ? )?=2= ?(?-1) ?(18)2?(78)?-2?=2=164 ?(?- 1) ?(78)?-2?=2令:s ( x) = ?(?- 1) ?-2?=2 -1 ? 1s(x) = ? ?(?- 1) ?-2?=2= ( ?=2)= (?21 -?)= (-1-? +11 -?)=2(1 - ?)3因此: e( y) =164?s(7 8? ) = 16(23) ( 此题总分值 11 分) 设整体 x 的概率密度为:xf x1,1,(,)10,其他 .其中 为未知参数，12nx , x , x为来自该整体的简单随机样本. (i) 求 的矩估量量 . (ii) 求 的最大似然估量量.【解析】 (i)11112()( ;)e xxfxdxxdx，令()e xx，即12x，解得1121niixxxn,为的矩估量量；(ii) 似然函数1()(;)niilf x，当1ix时，11111( )()nnil，那么1ln( )ln()ln.从而dlnd1ln( )，关于单调增加，因此12minnxxx,为的最大似然估量量。